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この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8Cオイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/過去動画の大学別・分野別の検索はHPからkantaro1966.com
やっぱり「なんで」ってことを想定して説明して下さるの助かります。チェックにもなりますし、初見の人はそれで解けますし。
結構シンプルな問題ですが面白問題でした！
極座標を使わなくてもx^2+2x+4=0はx=2の時成立しないので両辺にx-2(0)を掛けて(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8=0α,βはx^3-8=0の解であるからα^3=β^3=8は簡単に求められます。
私も同じやり方でした。
I don't understand Japanese, but math is a universal language. A more direct approach,alpha = -1 +sqrt(3)/2 i = 2 [(cos 2pi/3) + i sin(2pi/3)]beta = -1 - sqrt(3)/2 i = 2 [(cos 4pi/3) + i sin(4pi/3)]alpha^100 = 2^100 [(cos 200pi/3 ) + i sin(200pi/3)] = 2^100 [(cos 2pi/3 ) + i sin(2pi/3)]beta^100 = 2^100 [(cos 400pi/3 ) + i sin(400pi/3)] = 2^100 [(cos 4pi/3 ) + i sin(4pi/3)]alpha^100 + beta^100 = 2^100 [cos(2pi/3) + cos(4pi/3] = 2^100 * (-1) = - 2^100
複素数平面やってない世代なので、100乗でド･モアブルの定理を思いつくことができた時は複素数平面が馴染んできた気がして嬉しかった！
α^n+β^n=An とおいて、A100=-2*A99-4*A98=8*A97 と逆算し3項めごとに8倍になると気づいたのですが、何故か項数を数え間違え-2*2^39 としてしまいました。嗚呼、悔しい。α^3=β^3=8 に気づくべきでした。まだまだ、修行が足りませんねぇ。
複素平面から抜け出して寂しいなあと思いきや、複素平面。感謝です。
貫太郎先生のコメント欄を見てると、高校生の時数学のテストの後にあーでもないこーでもないとみんなで解き方を話し合ったのを思い出して心地がいいです(^ ^)
おはよう御座います。極形式とド・モアブルに気付けば、対称式と漸化式も見えてきますので、後はケアレスミス注意で落ち着いて処理できますね。流石に-2^100の計算は引きますが、ある数の第n位の数は、というのも度々見掛けますので、面白みも引き立つと思います。
Using DeMoivre theorem, this is a simple problem.
小生、数学科卒業の落ちこぼれで、まだ数学修行中の身です。今日も、一部未理解が有りました。しかし、貫太郎先生のお蔭で、解法の流れを掴むことが出来ました。漸化式、複素平面の考え方を、少しずつ理解しているようです。ありがとうございました。
問題の解き方はわかっていました。むしろ，2^100をもう少し簡単にして，1024^10ぐらいにするのかと思っていました。ちなみに，2^100 は1267650600228229401496703205376の31桁の数だそうです。WolframAlphaによる
＜解法1＞ そもそも2解は -1±i√3 なので、直ちに極形式にできる。（漸化式不要）＜解法2＞ 隣接3項間漸化式を導き、一種の周期性（3項毎に8倍になる）に注目。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~＜解法1＞： 与方程式の2解は -1±i√3。求値すべき式のα,β に関する対称性により、 α= -1 + i√3, β= -1 - i√3と定めても一般性を失わない。このとき α= -1 + i√3 = 2(-1/2 + i√3/2) = 2{cos(2π/3) + i sin(2π/3)}, β=α*と表せる。ゆえに、ドモアブルの定理により α^100 = (2^100) {cos(200π/3) + i sin(200π/3)} =(2^100) {cos(2π/3) + i sin(2π/3)} =(2^99)α。 ∴α^100 + β^100 = 2Re(α^100) =2Re{(2^99)α} = (2^100)Re(α) = -2^100。■===============================＜解法2＞：明らかにx=0は与方程式を満たさない。ゆえに任意の非負整数nにつき x^2 + 2x + 4=0 ⇔ x^(n+2) + 2x^(n+1) + 4x^n =0 ⇔ x^(n+2) = -2x^(n+1) - 4x^n。α, βは与方程式の2解であるから、上記により α^(n+2) = -2α^(n+1) - 4α^n かつ β^(n+2) = -2β^(n+1) - 4β^n。辺々足し合わせ、さらに簡便のために S[n] = α^n + β^n （n=0,1,2,...）と置くことにより、隣接3項間漸化式 S[0]=1+1=2, S[1]=α+β=-2, S[n+2] = -2S[n+1] - 4S[n]（n=0,1,2,...）を得る。 ∴S[0]=2, S[1]= -2, S[2]= -4, S[3]= 16, S[4]= -16, ...。ここで S[n+3] = 8S[n] （n=0,1,2,...）…①と予想される。実際、---------------------------------------------------1°）S[3] = 8S[0], S[4] = 8S[1]は上記より明らか。2°）ある2以上の整数nにつき S[n+1]= 8S[n-2] かつ S[n+2]= 8S[n-1]であるものと仮定すると、上記漸化式とより S[n+3]= -2S[n+2] - 4S[n+1] = -16S[n-1] -32S[n-2] = 8(-2S[n-1] -4S[n-2]) = 8S[n]が従う。---------------------------------------------------ゆえに1°、２°より帰納的に①が正しいと示された。従ってさらに S[3q+r]= (8^q)S[r]（q, rは任意の非負整数）…②と予想される。実際、任意の非負整数rを固定すると---------------------------------------------------3°）3*0 + r = r, 8^0=1により、q=0のときの成立は明らか。4°）ある1以上の整数qにつき S[3(q-1)+r]= {8^(q-1)}S[r]であるものと仮定すると、①とより S[3q+r] = S[3(q-1)+ r + 3] = 8S[3(q-1)+ r] = (8^q}S[r]が従う。---------------------------------------------------ゆえに3°、4°より帰納的に②が正しいと示された。 ∴α^100 + β^100 =S[100] = (8^33)S[1]= (2^99)(-2) = -2^100。■
複素数からむとワクワクしますね！
1:10パスカルの三角形2:35虚数i3:55初見だと…4:36三項間漸化式 🤯
最初漸化式でやろうとしましたが，先日の東大の問題の感じとは違っていたのでそもそも解が特別角の複素数って考えれば(2∠120°)^100+(2∠-120°)^100=2^100(1∠120°+1∠-120°)=-2^100と気づきました。
x^2+2x+4を４で割れば、(x/2)^2+(x/2)+1よってx^2+2x+4=0 ⇔ x/2=ω,ω^2
個人的に累乗数を解とする問題はなんかしっくり来ない
自分なりに美しく解けました。
おはようございますベーコンエッグと味噌汁と納豆とひじきとリンゴを食べながら視聴しました
@@tom-yam-kun 上手すぎw
これはもう基本的な問題でも超良問だと思います！複素数問題のエキスが詰まっています最初のと後半の１００乗貫太郎さんのスキル目から鱗 でも忘れない様にします😃反復 反復 です
いい問題ですね！！とても悩ませていただき楽しかったです！！
an=2^(n+1) • e^(inπ) • cos(nπ/3) を予想して帰納法で解くという遠回りな方法で解きました...D
x^2+2x+4=0x^3=8x^100=x*(x^3)^33=2^99xa+b=-2⇒-2*2^99=-2^100で解きました
αとβを解の公式でサッと解いて表示をみて、複素平面が頭に思い浮かび、そこから三乗に気づけました。式の形を見てすぐに気づくのがベストなのでしょうが、でもこのアプローチも重要なのでは？とも思います。貫太郎さんのおかげですね。ありがとうございます。
α^9+β^9 まで漸化式でやったら、さすがに法則性に気付いた。脳筋！
備忘録👏70G" (与式) ⇔ x＝－1±√3i ＝ α, β だから、α/2＝ ω, β/2＝ ω* とおくことができる。ω³＝1 に注意して、ω¹⁰⁰＋(ω*)¹⁰⁰＝ ω＋ω* ⇔ (α/2)¹⁰⁰＋(β/2)¹⁰⁰＝ α/2＋β/2 ＝－1 だから、α¹⁰⁰＋β¹⁰⁰＝－2¹⁰⁰ ■
ω使うと早いよね〜
これは美しい問題。勉強になります。
貫太郎さんもここのコメントにいる人たちもレベルが高いな…早く追いつけるように頑張ります^_^
ぐるぐる回る一点読みで解の公式使ったら-1±√3iってなったので助かりました。
ずっとやってないと解と係数の関係すら忘れてる。
私は一目見て、「x=2t」と置き換えて単位円に乗せたいな、と思いました。t^2+t+1＝0となれば見たことがある問題になりますからね。
凄い良問
-1±√3i は気づいてなーーんかωみたいなぁとは思ったが…漸化式でもやったけどこんがらがっちゃった💦
その漸化式から特性方程式を使って解いてみたらa_n=-2^(n+1)×sin{(4n-3)π/6}n=100を代入するとa_100=-2^101×sin(397π/6)397π/6=(66+1/6)πなのでsin(397π/6)=sin(π/6)=1/2a_100=-2^101×1/2=-2^100
遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを今済ませました。note.com/pc3taro/n/nb08ce8659183与えられた方程式が2次方程式ですし、解を陽に書き下せるというのもありますが、第100項の値を求めるとなれば、通常は与えられた2次方程式を特性方程式とする、隣接3項間漸化式を立て（初項と第2項を解と係数の関係そのものまたはそれを援用して求めることを含みます。）て、逐次計算で求めていくことが多いですが、そうはいっても、第100項の値ともなれば、それでやるとえらく時間がかかり、推測して値を出すにしても、それが正しいことを（一般的には）数学的帰納法で示さねばなりません。そう考えて漸化式の立式が本問ではあまり意味がないと判断し、解を陽に出しておいて、ド・モアブルの公式利用で直接計算で第n項を求めておいて、n=100代入で処理いたしました。解と係数の関係も漸化式の立式も一切しない代わりに（自身の答案内では）ド・モアブルの公式が活躍した問題でした。
最後の最後でつまずきそうでした ２００π／３は３３周して＋2/３πなんですね
ωに気づけた迄はよかったけど、最初のゴリ押し以外が思いつかなくて、やりたくなかったから見にきましたが、複素平面がここで出てくるんですね、、、素晴らしい！
11時を過ぎたのでもう「こんにちは！」ですね。もっとちゃっちゃと解ける予定だったので･･･。セオリーどおり漸化式作っても特性方程式が虚数解を持つのでちょっとイヤだなぁと思いつつ、漸化式作って特段の法則性にも気付かず。方程式を実際解いてωの2倍かぁと思ったけど、解を極形式で書いてようやく3の倍数絡みの問題と気付きました。x²+x+1＝0 を見たら(x-1)は掛けたくなるけど、 x²+2x+4=0 を見て(x-2)を掛けるのは自分の実力では思いつかなかった。朝から勉強させていただきました。
めっちゃかっこいい解き方…！(個人の感想です)
複素数平面でできるなんて知らなかった
やはり次数下げは強力ですね。
α^2+2α+4=0からα^2=-2α-4 α^3=-2α^2-4α=8よって、α^100+β^100=8^33・α+8^33・β=8^33(α+β)=2^99・(-2)=-2^100
実係数の2次方程式が虚数解αをもつならばもう一方はその共役だからβ=bar(α)α^n+β^n＝α^n+bar(α^n)=2Re(α^n)（実数）あとはαを極形式で書きド・モアブル
-(α+β)=2,αβ=4からどうするか？と思ったら三次方程式が背景にあった
おはようございます。今日も数学日和、洗濯日和です。頭を鍛えます。
動画の中でα＾３＝８でもα＾２＝４ではないと円から大きく外し 方向は理解ができても何故あの位置に点を記したのか 良かったらコメント頂ければ助かります
@@coscos3060 様 不覚にも、ひょんなことから返信に、本日気がつき大変失礼しました。 まだ勉強不足のため、残念ながら貴殿のアドバイスを理解するに至りません。 ありがとうございました。お許し下さい。
@@中村吉郎 様 わかりました 貫太郎さんが口酸っぱくいつも言っている複素数の掛け算は大きさと大きさはかけて ４、 角度はたして ２４０度 はまさに図示された点ですね😃
これ、式を真面目に解いてから解く人が大半じゃないかとｗα、βが重解なのが判ったときに、”ははぁ～～”となった人が極形式に気が付くと。チョットした捻りが面白い問題ですね。
複素数使いこなせるようにしないとにしても解法あざやか
こんばんは👦。２回めです。👍️しました！先日の僕のコメントへ、pc3taroさん、coscosさんから貫太郎さんの関連動画＆まとめのpdfの紹介や、励ましの言葉を頂き、本当にうれしかったです☺️⤴️。ありがとうございます🙇♂️。数学が得意と言える訳では無く、中２で今年、数検３級を受検するレベル😥ですが、これからも数Ⅲ習得目指してがんばります！
ドモアブルさんの力を借りて素早く解くことができました！
因数分解を記憶していなくても、x^3+2x^2+4x=0より、x^3=-2(-2x-4)-4x=8となる事から推定すれば楽勝✨
これは白チャートにも出ているレベルですね、基礎が大切です
白チャートのどこに載っているのですか？
α∧2=2β を使って次数を下げていくと、、、2∧98(α∧2+β∧2)まで次数を下げられ、あとはフィニッシュまで。
Good idea that we work on a similar, easier question first.
平方完成してド▪モアブルの定理でもとめました。-2はすぐもとめられました。あとrを巾乗して答えです。(書き忘れるポカをしてしまいましたが...)
なるほどこの考えは忘れないでおこう
2の100乗なんてどうやって計算するんだ・・・と思ってたら別にそのままで良かったんですね。これが10乗ぐらいまでだったら-2^10じゃなくて-1024と回答していたので。
係数比較からα+β、αβの値を求めて、そこから力ずくで解答を求めてました。
まさかパスカルの三角形を100段？力尽くといっても、2乗4乗8乗…といったところでしょうか
今日は今ごろ解きました。ありがとうございます。
いや、難しいわ！視聴者さん頭良すぎないか？笑俺も学校では1位だけどこのコメント欄だったら平均以下だな、、頑張ります
伸び代あるで！
どうせmod10かと思ったら値かいwあんまり良い解法思いつかんかったらとりま指数一個ずつ上げてって規則性見つけて解いタンゴ
解と係数の関係に直ぐとっつくの辞めなあかんなぁ
複素数から解くのは簡単なので、2の100乗を計算して解答させる問題かと思ってしまった・・・
拷問で草
何乗かする上で、どこが周期的に相殺されるだろうと思い、オイラーの公式が使える事に気付き、そのままオイラーの公式で解けた。
数2bまでで解ける方法ないですか？
脳死で漸化式使って解いたわコメ欄読んでいろんな解法あっておもろいな
複素数平面大好きなんですね！
天下り的ですが1の立方根が(1,ω,ω^2)と表せること使う方法もありますx=2Xをx^2+2x+4=0に代入すると4X^2+4X+4=0⇔X^2+X+1=0∴X=ωまたはω^2ここでX=x/2であるから、α/2=ω, β/2=ω^2としても一般性を失わないこれらを100乗して両辺たすと(α/2)^100+(β/2)^100=ω^100+ω^200‥※ここでω^100=ω×(ω^3)^33=ω×1^33=ωω^200=(ω^2)×(ω^3)^66=(ω^2)×1^66=ω^2さらにω^2+ω+1=0(∵左辺はω^3-1の因数かつω≠1)であるので※⇔(α/2)^100+(β/2)^100=-1両辺2^100をかけてα^100+β^100=(-1)×2^100
絶対自力で解いてやるー、と、半日ぼんやり仕事しながら考えて、x^3=8に気付きましたw すぐ気づけるようになりたいので日々頑張ります。
漸化式作って、規則からいったら2の100乗になってしまった
漸化式からα^n＋β^nの一般項を出せたから極形式で表して求めれた！
貫太郎さんのことだから、整数か複素数なんだろうなーと思ったらやっぱり複素数だった
そろそろ高校入試や大学入試の立体の問題をまた扱ってほしいですね
一般に、自然数nの3乗根のうちの2つの虚数根を解に持つ方程式は、x^2 + nx + n^2 = 0という形をしていて、その虚数根は、複素平面表示だとn/2 * (-1 ± √3i) (= n * ω, n * ω^2)極座標表示だとn * (cos 2/3 π + i sin 2/3 π)とn * (cos 4/3 π + i sin 4/3 π)という形をしているということですね。まあ、虚数根の形は当然ですけども。これを知っていれば、さり気なく出された2次方程式の形からこんなエレガントな解法が得られるとは。16年前に高校で学んだ1の3乗根の話題の派生で、ここまで興奮するとは思いませんでした。そんなきっかけを下さったこの問題に感謝します。途中からαとβを極座標表示してドモアブルの定理に持っていって解答を得られましたが、そっちもなかなかに痛快でした。ちなみに、1(とかi)のn乗根を求める連日の問題で、ようやく組み立て除法が馴染んできました。
-1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376
面白い
途中で帰納法使えないかなと思ってやってみたけど結局できなかった
x^3-8の因数分解の片割れというのは気付ける人は気付けるんだろうけど。。二つの虚数解の和をどうするか。。漸化式以降で詰まった。。。。。。９９乗ねー！！！そういうことか。。。
見事に引っ掛かってしまった…
複素数の概念を柔軟に使えるようになりたいなぁ
こんばんは。複素数になり、どのように処理すれば良いのかわからなかったのですが、とても美しい解法に驚きました。しっかり復習しておきます。ところで、与えられた2次方程式が、x^2+2x+4=0とx^2以外の項の係数が、x^2+x+1＝0の2倍になっているのは偶々なのでしょうか？それとも、必然性があるのでしょうか？ご教示いただけましたら幸いです。
（既にお気づきのこととは存じますが、）x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2) という恒等式の a に 1,2 を代入すると、右辺の２つめの括弧の中は、それぞれ x^2+x+1 と x^2+2x+4 になりますね。
与式に(x-2)をかけたらx^3=8になることに気付くのに10分くらいかかった。
高一ワイ「解ねーじゃーん」
そうなるよね笑
当時の自分を思い出す
@@胸にかける どした？
漸化式大好き人間からしたらすぐ漸化式にしちゃったーーー
最初のα^5+β^5と同じように、点を100回移動させたら解けますか？
絶対値が1でないので半径がとてつもなくデカくなりますが。99乗で実軸に来ることはグルグル回せばわかります。
最後の円のやつは数3ですか？
８の三乗根か。修行が足りませんでした。
方針立てるつもりで解の公式したら2ωって出てきたので与式2^100でくくったらω^100+ω^200=-1ってしました。この形だと3の倍数のところが特徴的になるのもわかりやすかったです。
nが3以上の時n＝3k＋2とおくとa_3k＋2＝ー2^3k＋2 となることに気づき解けました今日もありがとうございます
3k+2が全体で添字であるのであれば、プレインテキストで記す際に (a_3)k＋2＝ー(2^3)k＋2 という誤認を起こすので、a_{3k＋2}＝ー2^{3k＋2} となさったほうがよろしいように思います（プログラミングだとそういう所の見落としで思わぬエラーが起きたりいたします）。
わざわざありがとございます！！気をつけます！
x/2=ωで秒殺
α＾３が８でも α＾２は４ではない点がポイント
100乗の方は漸化式を作る途中で面倒だと思い、極形式で。もう一方は、解の3乗が1になることと次数下げ
2^{100} は計算しなくてよいの？
手では一般的にできませんね
@@kantaro1966 ありがとうございます！仮に大学入試で出たらどこまで書く（計算する）のが作法なのかな，と思いまして．2^{100} は 30桁（≒ 100 log_{10} 2) くらいの数字なので手計算は無理ですが．例えば \alpha と \beta を解の公式で具体的に求めて，「(-1+\sqrt{3}i)^{100} + (-1-\sqrt{3}i)^{100} が答え」と書いたらＯＫなのか？とか．
こんな良問題よく創作できますよ。驚きます 難関大学いつかにパクられそう…
かけたくなーる かけたくなーる
三乗根ならxー2を掛けたくなるとはどういう事でしょうか。 だれか数学強いひと教えてくださいm(*_ _)m
私はここのコメント欄の方々ほど優秀ではありませんが、与式にx-2をかけて作ったx^3-8=0の実数解以外の２解がα、βとなりその後の処理がしやすくなるからだと思います。因数分解の逆ですよね。
わかりにくい
x^2+2x+4を平方完成で、x＝1±√3という形にして、αを1+√3、βを1-√3とおいいたときに、α^100+β^100は、(α×β)^100となるので、(1+√3)(1-√3)^100=-2^100という求め方ではダメですか？新高1です。
普通に解の公式使えば分かると思うけど、x^2+2x+4の解は1±√3ではないよ、高1じゃまだ習ってないかもしれないけど、この方程式の解は虚数というものになります、あとα^100+β^100＝(αβ)^100も成り立ちません、例えばα^2+β^2と(αβ)^2は別の数字になるでしょ
2¹⁰⁰しました
コメ欄意識高い奴沸きまくってて草。
お前が「低い」んやで
動画を楽しめれば意識低くてもいいと思います
肉体覇王Jalmar ここまで意識高いのは受験生ぐらいだろ…
![Blox Fruits Dragon Rework Update [Full Stream]](http://i.ytimg.com/vi/EqDAp8udhm0/mqdefault.jpg)
![[Famous Problem] The solution to this equation was too unexpected...](/img/1.gif)
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過去動画の大学別・分野別の検索はHPからkantaro1966.com
やっぱり「なんで」ってことを想定して説明して下さるの助かります。チェックにもなりますし、初見の人はそれで解けますし。
結構シンプルな問題ですが面白問題でした！
極座標を使わなくても
x^2+2x+4=0はx=2の時成立しないので両辺にx-2(0)を掛けて
(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8=0
α,βはx^3-8=0の解であるからα^3=β^3=8は簡単に求められます。
私も同じやり方でした。
I don't understand Japanese, but math is a universal language. A more direct approach,
alpha = -1 +sqrt(3)/2 i = 2 [(cos 2pi/3) + i sin(2pi/3)]
beta = -1 - sqrt(3)/2 i = 2 [(cos 4pi/3) + i sin(4pi/3)]
alpha^100 = 2^100 [(cos 200pi/3 ) + i sin(200pi/3)] = 2^100 [(cos 2pi/3 ) + i sin(2pi/3)]
beta^100 = 2^100 [(cos 400pi/3 ) + i sin(400pi/3)] = 2^100 [(cos 4pi/3 ) + i sin(4pi/3)]
alpha^100 + beta^100 = 2^100 [cos(2pi/3) + cos(4pi/3] = 2^100 * (-1) = - 2^100
複素数平面やってない世代なので、100乗でド･モアブルの定理を思いつくことができた時は複素数平面が馴染んできた気がして嬉しかった！
α^n+β^n=An とおいて、A100=-2*A99-4*A98=8*A97 と逆算し
3項めごとに8倍になると気づいたのですが、何故か項数を数え間違え
-2*2^39 としてしまいました。嗚呼、悔しい。
α^3=β^3=8 に気づくべきでした。
まだまだ、修行が足りませんねぇ。
複素平面から抜け出して寂しいなあと思いきや、複素平面。
感謝です。
貫太郎先生のコメント欄を見てると、高校生の時数学のテストの後にあーでもないこーでもないとみんなで解き方を話し合ったのを思い出して心地がいいです(^ ^)
おはよう御座います。
極形式とド・モアブルに気付けば、対称式と漸化式も見えてきますので、後はケアレスミス注意で落ち着いて処理できますね。
流石に-2^100の計算は引きますが、ある数の第n位の数は、というのも度々見掛けますので、面白みも引き立つと思います。
Using DeMoivre theorem, this is a simple problem.
小生、数学科卒業の落ちこぼれで、まだ数学修行中の身です。今日も、一部未理解が有りました。しかし、貫太郎先生のお蔭で、解法の流れを掴むことが出来ました。漸化式、複素平面の考え方を、少しずつ理解しているようです。ありがとうございました。
問題の解き方はわかっていました。むしろ，2^100をもう少し簡単にして，1024^10ぐらいにするのかと思っていました。ちなみに，2^100 は1267650600228229401496703205376の31桁の数だそうです。WolframAlphaによる
＜解法1＞ そもそも2解は -1±i√3 なので、直ちに極形式にできる。（漸化式不要）
＜解法2＞ 隣接3項間漸化式を導き、一種の周期性（3項毎に8倍になる）に注目。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
＜解法1＞： 与方程式の2解は -1±i√3。求値すべき式のα,β に関する対称性により、
α= -1 + i√3, β= -1 - i√3
と定めても一般性を失わない。このとき
α= -1 + i√3 = 2(-1/2 + i√3/2) = 2{cos(2π/3) + i sin(2π/3)}, β=α*
と表せる。ゆえに、ドモアブルの定理により
α^100 = (2^100) {cos(200π/3) + i sin(200π/3)}
=(2^100) {cos(2π/3) + i sin(2π/3)}
=(2^99)α
。
∴α^100 + β^100 = 2Re(α^100)
=2Re{(2^99)α} = (2^100
)Re(α)
= -2^100
。■
===============================
＜解法2＞：明らかにx=0は与方程式を満たさない。ゆえに任意の非負整数nにつき
x^2 + 2x + 4=0 ⇔ x^(n+2) + 2x^(n+1) + 4x^n =0
⇔ x^(n+2) = -2x^(n+1) - 4x^n。
α, βは与方程式の2解であるから、上記により
α^(n+2) = -2α^(n+1) - 4α^n かつ β^(n+2) = -2β^(n+1) - 4β^n。
辺々足し合わせ、さらに簡便のために
S[n] = α^n + β^n （n=0,1,2,...）
と置くことにより、隣接3項間漸化式
S[0]=1+1=2, S[1]=α+β=-2,
S[n+2] = -2S[n+1] - 4S[n]（n=0,1,2,...）
を得る。
∴S[0]=2, S[1]= -2, S[2]= -4, S[3]= 16, S[4]= -16, ...。
ここで
S[n+3] = 8S[n] （n=0,1,2,...）…①
と予想される。実際、
---------------------------------------------------
1°）S[3] = 8S[0], S[4] = 8S[1]は上記より明らか。
2°）ある2以上の整数nにつき
S[n+1]= 8S[n-2] かつ S[n+2]= 8S[n-1]
であるものと仮定すると、上記漸化式とより
S[n+3]= -2S[n+2] - 4S[n+1] = -16S[n-1] -32S[n-2]
= 8(-2S[n-1] -4S[n-2]) = 8S[n]
が従う。
---------------------------------------------------
ゆえに1°、２°より帰納的に①が正しいと示された。
従ってさらに
S[3q+r]= (8^q)S[r]（q, rは任意の非負整数）…②
と予想される。実際、任意の非負整数rを固定すると
---------------------------------------------------
3°）3*0 + r = r, 8^0=1により、q=0のときの成立は明らか。
4°）ある1以上の整数qにつき
S[3(q-1)+r]= {8^(q-1)}S[r]
であるものと仮定すると、①とより
S[3q+r] = S[3(q-1)+ r + 3] = 8S[3(q-1)+ r] = (8^q}S[r]
が従う。
---------------------------------------------------
ゆえに3°、4°より帰納的に②が正しいと示された。
∴α^100 + β^100
=S[100] = (8^33)S[1]= (2^99)(-2) = -2^100。■
複素数からむとワクワクしますね！
1:10パスカルの三角形
2:35虚数i
3:55初見だと…
4:36三項間漸化式 🤯
最初漸化式でやろうとしましたが，先日の東大の問題の感じとは違っていたので
そもそも解が特別角の複素数って考えれば
(2∠120°)^100+(2∠-120°)^100=2^100(1∠120°+1∠-120°)=-2^100と気づきました。
x^2+2x+4を４で割れば、(x/2)^2+(x/2)+1
よってx^2+2x+4=0 ⇔ x/2=ω,ω^2
個人的に累乗数を解とする問題はなんかしっくり来ない
自分なりに美しく解けました。
おはようございます
ベーコンエッグと味噌汁と納豆とひじきとリンゴを食べながら視聴しました
@@tom-yam-kun 上手すぎw
これはもう基本的な問題でも超良問だと思います！複素数問題のエキスが詰まっています
最初のと後半の１００乗貫太郎さんのスキル目から鱗 でも忘れない様にします😃
反復 反復 です
いい問題ですね！！とても悩ませていただき楽しかったです！！
an=2^(n+1) • e^(inπ) • cos(nπ/3) を予想して帰納法で解くという遠回りな方法で解きました...D
x^2+2x+4=0
x^3=8
x^100=x*(x^3)^33=2^99x
a+b=-2
⇒-2*2^99=-2^100で解きました
αとβを解の公式でサッと解いて表示をみて、複素平面が頭に思い浮かび、そこから三乗に気づけました。
式の形を見てすぐに気づくのがベストなのでしょうが、でもこのアプローチも重要なのでは？とも思います。貫太郎さんのおかげですね。ありがとうございます。
α^9+β^9 まで漸化式でやったら、さすがに法則性に気付いた。脳筋！
備忘録👏70G" (与式) ⇔ x＝－1±√3i ＝ α, β だから、α/2＝ ω, β/2＝ ω* とおくことができる。
ω³＝1 に注意して、ω¹⁰⁰＋(ω*)¹⁰⁰＝ ω＋ω* ⇔ (α/2)¹⁰⁰＋(β/2)¹⁰⁰＝ α/2＋β/2 ＝－1 だから、
α¹⁰⁰＋β¹⁰⁰＝－2¹⁰⁰ ■
ω使うと早いよね〜
これは美しい問題。勉強になります。
貫太郎さんもここのコメントにいる人たちもレベルが高いな…
早く追いつけるように頑張ります^_^
ぐるぐる回る一点読みで解の公式使ったら-1±√3i
ってなったので助かりました。
ずっとやってないと解と係数の関係すら忘れてる。
私は一目見て、「x=2t」と置き換えて単位円に乗せたいな、と思いました。
t^2+t+1＝0となれば見たことがある問題になりますからね。
凄い良問
-1±√3i は気づいてなーーんかωみたいなぁとは思ったが…
漸化式でもやったけどこんがらがっちゃった💦
その漸化式から特性方程式を使って解いてみたら
a_n=-2^(n+1)×sin{(4n-3)π/6}
n=100を代入すると
a_100=-2^101×sin(397π/6)
397π/6=(66+1/6)πなので
sin(397π/6)=sin(π/6)=1/2
a_100=-2^101×1/2=-2^100
遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを今済ませました。
note.com/pc3taro/n/nb08ce8659183
与えられた方程式が2次方程式ですし、解を陽に書き下せるというのもありますが、第100項の値を求めるとなれば、通常は与えられた2次方程式を特性方程式とする、隣接3項間漸化式を立て（初項と第2項を解と係数の関係そのものまたはそれを援用して求めることを含みます。）て、逐次計算で求めていくことが多いですが、そうはいっても、第100項の値ともなれば、それでやるとえらく時間がかかり、推測して値を出すにしても、それが正しいことを（一般的には）数学的帰納法で示さねばなりません。そう考えて漸化式の立式が本問ではあまり意味がないと判断し、解を陽に出しておいて、ド・モアブルの公式利用で直接計算で第n項を求めておいて、n=100代入で処理いたしました。
解と係数の関係も漸化式の立式も一切しない代わりに（自身の答案内では）ド・モアブルの公式が活躍した問題でした。
最後の最後でつまずきそうでした ２００π／３は３３周して＋2/３πなんですね
ωに気づけた迄はよかったけど、最初のゴリ押し以外が思いつかなくて、やりたくなかったから見にきましたが、複素平面がここで出てくるんですね、、、
素晴らしい！
11時を過ぎたのでもう「こんにちは！」ですね。もっとちゃっちゃと解ける予定だったので･･･。
セオリーどおり漸化式作っても特性方程式が虚数解を持つのでちょっとイヤだなぁと思いつつ、漸化式作って特段の法則性にも気付かず。
方程式を実際解いてωの2倍かぁと思ったけど、解を極形式で書いてようやく3の倍数絡みの問題と気付きました。
x²+x+1＝0 を見たら(x-1)は掛けたくなるけど、 x²+2x+4=0 を見て(x-2)を掛けるのは自分の実力では思いつかなかった。
朝から勉強させていただきました。
めっちゃかっこいい解き方…！(個人の感想です)
複素数平面でできるなんて知らなかった
やはり次数下げは強力ですね。
α^2+2α+4=0からα^2=-2α-4 α^3=-2α^2-4α=8よって、α^100+β^100=8^33・α+8^33・β=8^33(α+β)=2^99・(-2)=-2^100
実係数の2次方程式が虚数解αをもつならばもう一方はその共役だからβ=bar(α)
α^n+β^n＝α^n+bar(α^n)=2Re(α^n)（実数）あとはαを極形式で書きド・モアブル
-(α+β)=2,αβ=4
からどうするか？と思ったら
三次方程式が背景にあった
おはようございます。今日も数学日和、洗濯日和です。頭を鍛えます。
動画の中でα＾３＝８でもα＾２＝４ではないと円から大きく外し 方向は理解ができても何故あの位置に点を記したのか 良かったらコメント頂ければ助かります
@@coscos3060 様 不覚にも、ひょんなことから返信に、本日気がつき大変失礼しました。
まだ勉強不足のため、残念ながら貴殿のアドバイスを理解するに至りません。
ありがとうございました。お許し下さい。
@@中村吉郎 様 わかりました 貫太郎さんが口酸っぱくいつも言って
いる複素数の掛け算は大きさと大きさはかけて ４、 角度はたして ２４０度 はまさに図示された点ですね😃
これ、式を真面目に解いてから解く人が大半じゃないかとｗ
α、βが重解なのが判ったときに、”ははぁ～～”となった人が極形式に気が付くと。
チョットした捻りが面白い問題ですね。
複素数使いこなせるようにしないと
にしても解法あざやか
こんばんは👦。２回めです。
👍️しました！
先日の僕のコメントへ、pc3taroさん、coscosさんから貫太郎さんの関連動画＆まとめのpdfの紹介や、励ましの言葉を頂き、本当にうれしかったです☺️⤴️。
ありがとうございます🙇♂️。
数学が得意と言える訳では無く、中２で今年、数検３級を受検するレベル😥ですが、これからも数Ⅲ習得目指してがんばります！
ドモアブルさんの力を借りて素早く解くことができました！
因数分解を記憶していなくても、x^3+2x^2+4x=0より、x^3=-2(-2x-4)-4x=8となる事から推定すれば楽勝✨
これは白チャートにも出ているレベルですね、基礎が大切です
白チャートのどこに載っているのですか？
α∧2=2β を使って次数を下げていくと、、、2∧98(α∧2+β∧2)まで次数を下げられ、
あとはフィニッシュまで。
Good idea that we work on a similar, easier question first.
平方完成してド▪モアブルの定理でもとめました。
-2はすぐもとめられました。あとrを巾乗して答えです。(書き忘れるポカをしてしまいましたが...)
なるほど
この考えは忘れないでおこう
2の100乗なんてどうやって計算するんだ・・・
と思ってたら別にそのままで良かったんですね。
これが10乗ぐらいまでだったら-2^10じゃなくて-1024と回答していたので。
係数比較からα+β、αβの値を求めて、そこから力ずくで解答を求めてました。
まさかパスカルの三角形を100段？
力尽くといっても、2乗4乗8乗…といったところでしょうか
今日は今ごろ解きました。ありがとうございます。
いや、難しいわ！
視聴者さん頭良すぎないか？笑
俺も学校では1位だけどこのコメント欄だったら平均以下だな、、
頑張ります
伸び代あるで！
どうせmod10かと思ったら値かいw
あんまり良い解法思いつかんかったらとりま指数一個ずつ上げてって規則性見つけて解いタンゴ
解と係数の関係に直ぐとっつくの辞めなあかんなぁ
複素数から解くのは簡単なので、2の100乗を計算して解答させる問題かと思ってしまった・・・
拷問で草
何乗かする上で、どこが周期的に相殺されるだろうと思い、オイラーの公式が使える事に気付き、そのままオイラーの公式で解けた。
数2bまでで解ける方法ないですか？
脳死で漸化式使って解いたわ
コメ欄読んでいろんな解法あっておもろいな
複素数平面大好きなんですね！
天下り的ですが1の立方根が(1,ω,ω^2)と表せること使う方法もあります
x=2Xをx^2+2x+4=0に代入すると
4X^2+4X+4=0⇔X^2+X+1=0
∴X=ωまたはω^2
ここでX=x/2であるから、
α/2=ω, β/2=ω^2としても一般性を失わない
これらを100乗して両辺たすと
(α/2)^100+(β/2)^100=ω^100+ω^200‥※
ここで
ω^100=ω×(ω^3)^33=ω×1^33=ω
ω^200=(ω^2)×(ω^3)^66=(ω^2)×1^66=ω^2
さらにω^2+ω+1=0(∵左辺はω^3-1の因数かつω≠1)であるので
※
⇔(α/2)^100+(β/2)^100=-1
両辺2^100をかけて
α^100+β^100=(-1)×2^100
絶対自力で解いてやるー、と、半日ぼんやり仕事しながら考えて、x^3=8に気付きましたw すぐ気づけるようになりたいので日々頑張ります。
漸化式作って、規則からいったら2の100乗になってしまった
漸化式からα^n＋β^nの一般項を出せたから極形式で表して求めれた！
貫太郎さんのことだから、整数か複素数なんだろうなーと思ったらやっぱり複素数だった
そろそろ高校入試や大学入試の立体の問題をまた扱ってほしいですね
一般に、自然数nの3乗根のうちの2つの虚数根を解に持つ方程式は、
x^2 + nx + n^2 = 0
という形をしていて、その虚数根は、複素平面表示だとn/2 * (-1 ± √3i) (= n * ω, n * ω^2)
極座標表示だとn * (cos 2/3 π + i sin 2/3 π)とn * (cos 4/3 π + i sin 4/3 π)
という形をしているということですね。
まあ、虚数根の形は当然ですけども。
これを知っていれば、さり気なく出された2次方程式の形からこんなエレガントな解法が得られるとは。
16年前に高校で学んだ1の3乗根の話題の派生で、ここまで興奮するとは思いませんでした。そんなきっかけを下さったこの問題に感謝します。
途中からαとβを極座標表示してドモアブルの定理に持っていって解答を得られましたが、そっちもなかなかに痛快でした。
ちなみに、1(とかi)のn乗根を求める連日の問題で、ようやく組み立て除法が馴染んできました。
-1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376
面白い
途中で帰納法使えないかなと思ってやってみたけど結局できなかった
x^3-8の因数分解の片割れというのは気付ける人は気付けるんだろうけど。。二つの虚数解の和をどうするか。。
漸化式以降で詰まった。。。。。。９９乗ねー！！！そういうことか。。。
見事に引っ掛かってしまった…
複素数の概念を柔軟に使えるようになりたいなぁ
こんばんは。
複素数になり、どのように処理すれば良いのかわからなかったのですが、とても美しい解法に驚きました。
しっかり復習しておきます。
ところで、与えられた2次方程式が、
x^2+2x+4=0とx^2以外の項の係数が、
x^2+x+1＝0の2倍になっているのは偶々なのでしょうか？それとも、必然性があるのでしょうか？ご教示いただけましたら幸いです。
（既にお気づきのこととは存じますが、）
x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2) という恒等式の a に 1,2 を代入すると、
右辺の２つめの括弧の中は、それぞれ x^2+x+1 と x^2+2x+4 になりますね。
与式に(x-2)をかけたらx^3=8になることに気付くのに10分くらいかかった。
高一ワイ「解ねーじゃーん」
そうなるよね笑
当時の自分を思い出す
@@胸にかける どした？
漸化式大好き人間からしたらすぐ漸化式にしちゃったーーー
最初のα^5+β^5と同じように、点を100回移動させたら解けますか？
絶対値が1でないので半径がとてつもなくデカくなりますが。99乗で実軸に来ることはグルグル回せばわかります。
最後の円のやつは数3ですか？
８の三乗根か。修行が足りませんでした。
方針立てるつもりで解の公式したら2ωって出てきたので与式2^100でくくったらω^100+ω^200=-1ってしました。
この形だと3の倍数のところが特徴的になるのもわかりやすかったです。
nが3以上の時
n＝3k＋2とおくと
a_3k＋2＝ー2^3k＋2 となることに気づき解けました
今日もありがとうございます
3k+2が全体で添字であるのであれば、プレインテキストで記す際に (a_3)k＋2＝ー(2^3)k＋2 という誤認を起こすので、a_{3k＋2}＝ー2^{3k＋2} となさったほうがよろしいように思います（プログラミングだとそういう所の見落としで思わぬエラーが起きたりいたします）。
わざわざありがとございます！！
気をつけます！
x/2=ωで秒殺
α＾３が８でも α＾２は４ではない点がポイント
100乗の方は漸化式を作る途中で面倒だと思い、極形式で。
もう一方は、解の3乗が1になることと次数下げ
2^{100} は計算しなくてよいの？
手では一般的にできませんね
@@kantaro1966 ありがとうございます！
仮に大学入試で出たらどこまで書く（計算する）のが作法なのかな，と思いまして．
2^{100} は 30桁（≒ 100 log_{10} 2) くらいの数字なので手計算は無理ですが．
例えば \alpha と \beta を解の公式で具体的に求めて，
「(-1+\sqrt{3}i)^{100} + (-1-\sqrt{3}i)^{100} が答え」と書いたらＯＫなのか？とか．
こんな良問題よく創作できますよ。驚きます 難関大学いつかにパクられそう…
かけたくなーる かけたくなーる
三乗根ならxー2を掛けたくなるとはどういう事でしょうか。 だれか数学強いひと教えてくださいm(*_ _)m
私はここのコメント欄の方々ほど優秀ではありませんが、与式にx-2をかけて作ったx^3-8=0の実数解以外の２解がα、βとなりその後の処理がしやすくなるからだと思います。
因数分解の逆ですよね。
わかりにくい
x^2+2x+4を平方完成で、x＝1±√3という形にして、αを1+√3、βを1-√3とおいいたときに、α^100+β^100は、(α×β)^100となるので、(1+√3)(1-√3)^100=-2^100という求め方ではダメですか？新高1です。
普通に解の公式使えば分かると思うけど、x^2+2x+4の解は1±√3ではないよ、高1じゃまだ習ってないかもしれないけど、この方程式の解は虚数というものになります、あとα^100+β^100＝(αβ)^100も成り立ちません、例えばα^2+β^2と(αβ)^2は別の数字になるでしょ
2¹⁰⁰しました
コメ欄意識高い奴沸きまくってて草。
お前が「低い」んやで
動画を楽しめれば意識低くてもいいと思います
肉体覇王Jalmar
ここまで意識高いのは受験生ぐらいだろ…